الرياضيات الأساسية الأمثلة

$n^{3} - n^{2} - 3 n - 9 = 0$

خطوة 1

حلّل $n^{3} - n^{2} - 3 n - 9$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

خطوة 1.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$3^{3} - 3^{2} - 3 \cdot 3 - 9$

خطوة 1.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 - 3^{2} - 3 \cdot 3 - 9$

خطوة 1.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 9$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$27 - 9 - 3 \cdot 3 - 9$

خطوة 1.3.5

اطرح $9$ من $27$ .

$18 - 3 \cdot 3 - 9$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 3$ في $3$ .

$18 - 9 - 9$

خطوة 1.3.7

اطرح $9$ من $18$ .

$9 - 9$

خطوة 1.3.8

اطرح $9$ من $9$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $n - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{n^{3} - n^{2} - 3 n - 9}{n - 3}$

خطوة 1.5

اقسِم $n^{3} - n^{2} - 3 n - 9$ على $n - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$n$

$3$

$n^{3}$

$n^{2}$

$3 n$

$9$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $n^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $n$ .

					$n^{2}$
	$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$n^{2}$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			+	$n^{3}$	-	$3 n^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $n^{3} - 3 n^{2}$

				$n^{2}$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$n^{2}$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$n^{2}$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 n^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $n$ .

				$n^{2}$	+	$2 n$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$n^{2}$	+	$2 n$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					+	$2 n^{2}$	-	$6 n$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 n^{2} - 6 n$

				$n^{2}$	+	$2 n$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$n^{2}$	+	$2 n$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$n^{2}$	+	$2 n$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$	-	$9$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 n$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $n$ .

				$n^{2}$	+	$2 n$	+	$3$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$	-	$9$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$n^{2}$	+	$2 n$	+	$3$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$	-	$9$
							+	$3 n$	-	$9$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 n - 9$

				$n^{2}$	+	$2 n$	+	$3$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$	-	$9$
							-	$3 n$	+	$9$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$n^{2}$	+	$2 n$	+	$3$
$n$	-	$3$		$n^{3}$	-	$n^{2}$	-	$3 n$	-	$9$
			-	$n^{3}$	+	$3 n^{2}$
					+	$2 n^{2}$	-	$3 n$
					-	$2 n^{2}$	+	$6 n$
							+	$3 n$	-	$9$
							-	$3 n$	+	$9$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$n^{2} + 2 n + 3$

خطوة 1.6

اكتب $n^{3} - n^{2} - 3 n - 9$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(n - 3) (n^{2} + 2 n + 3) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$n - 3 = 0$

$n^{2} + 2 n + 3 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $n - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $n - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$n - 3 = 0$

خطوة 3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$n = 3$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $n^{2} + 2 n + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $n^{2} + 2 n + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$n^{2} + 2 n + 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $n$ في $n^{2} + 2 n + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $n$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

اطرح $12$ من $4$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 8$ بالصيغة $- 1 (8)$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (8)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$n = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$n = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.7

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$n = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$n = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$n = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$n = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$n = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$n = - 1 \pm i \sqrt{2}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$n = - 1 + i \sqrt{2}, - 1 - i \sqrt{2}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(n - 3) (n^{2} + 2 n + 3) = 0$ صحيحة.

$n = 3, - 1 + i \sqrt{2}, - 1 - i \sqrt{2}$